Volver a Guía

CURSO RELACIONADO

Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

¿Te está ayudando la guía resuelta?
Sumate a nuestro curso, donde te enseño toda la materia de forma súper simple. 🥰

Ir al curso
ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 6: Teorema del Valor Medio

Anterior Siguiente
3. Pruebe las siguientes identidades (Ayuda: use que si dos funciones fygf \mathrm{y} g tienen la misma función derivada, entonces f(x)=g(x)+cf(x)=g(x)+c, donde cc es una constante.)
b) ln⁡(xa)=aln⁡(x)\ln(x^{a})=a \ln(x)

Respuesta

Aclaración: Los primeros 4 ejercicios de esta práctica son bastante teóricos y no tienen nada que ver con el enfoque de los parciales. La posta en esta práctica arranca después.  

Hecha esta aclaración, te lo dejo acá resuelto:

Para probar la identidad ln⁡(xa)=aln⁡(x)\ln(x^a) = a \ln(x), vamos a usar la ayudita del enunciado, que nos dice si dos funciones ff y gg tienen la misma derivada, entonces la diferencia entre las dos funciones es una constante. 
La derivada de ln⁡(xa)\ln(x^a) con respecto a xx es: ddxln⁡(xa)=1xa⋅axa−1=ax\frac{d}{dx} \ln(x^a) = \frac{1}{x^a} \cdot a x^{a-1} = \frac{a}{x}

Aclaración: ddx\frac{d}{dx} es otra notación para decir que estamos derivando respecto de xx. Podemos usar esto o encerrar a la función entre paréntesis y ponerle el "prima" (') arriba. Me pareció que acá quedaba bueno usarlo jaja

Aclaración 2: Te das cuenta por qué me quedó ax\frac{a}{x}? (reglas de potenciación!)

Seguimos. Ahora derivemos aln⁡(x)a \ln(x)
ddx(aln⁡(x))=a⋅1x=ax\frac{d}{dx} (a \ln(x)) = a \cdot \frac{1}{x} = \frac{a}{x} Vemos que ambas derivadas son las mismas! Según la propiedad que nos mencionaba el enunciado, esto implica que la diferencia entre las funciones ln⁡(xa)\ln(x^a) y aln⁡(x)a \ln(x) es una constante, es decir...
ln⁡(xa)=aln⁡(x)+c\ln(x^a) = a \ln(x) + c Para determinar el valor de la constante cc, evaluamos las funciones en algún punto, por ejemplo x=1x = 1 así nos queda fácil.

ln⁡(1a)=aln⁡(1)+c\ln(1^a) = a \ln(1) + c
0=0+c0 = 0 + c Así que cc debe ser 00 y nos quedó... ln⁡(xa)=aln⁡(x)\ln(x^a) = a \ln(x)  que era exactamente lo que queríamos demostrar =)
Reportar problema
ExaComunidad
Iniciá sesión o Registrate para dejar tu comentario.